【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和,若Tn≤λan+1對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.
【答案】解:(I)設(shè)公差為d,由已知得: , 即 ,
解得:d=1或d=0(舍去),
∴a1=2,
故an=2+(n﹣1)=n+1;
(II)∵ = ,
∴Tn= ,
∵Tn≤λan+1對(duì)n∈N*恒成立,即 ≤λ(n+2),λ≥ n∈N*恒成立,
又 = ,
∴λ的最小值為 .
【解析】(I)設(shè)出此等差數(shù)列的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)S4=14得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式,又a1 , a3 , a7成等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的另一關(guān)系式,兩關(guān)系式聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差,根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可;(II)把(I)中求出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列中,根據(jù) ,列舉出數(shù)列的前n項(xiàng)和的每一項(xiàng),抵消后得到Tn的通項(xiàng)公式,將求出的Tn的通項(xiàng)公式和an+1的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中,解出λ大于等于一個(gè)關(guān)系式,利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最大值,即可得到實(shí)數(shù)λ的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站受歡迎的程度,隨機(jī)選取了14天,統(tǒng)計(jì)上午8:00~10:00各自的點(diǎn)擊量,得到如圖所示的莖葉圖,根據(jù)莖葉圖回答下列問(wèn)題.
(1)甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站點(diǎn)擊量的極差分別是多少?
(2)甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻率是多少?
(3)甲、乙兩網(wǎng)站哪個(gè)更受歡迎?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合P的元素個(gè)數(shù)為個(gè)且元素為正整數(shù),將集合P分成元素個(gè)數(shù)相同且兩兩沒(méi)有公共元素的三個(gè)集合A、B、C,即 ,,,,其中 ,, 若集合A、B、C中的元素滿足 ,,,2,,則稱集合P為“完美集合”.
若集合2,,2,3,4,5,,判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”?并說(shuō)明理由;
已知集合x,3,4,5,為“完美集合”,求正整數(shù)x的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M:,直線l:,A為直線l上一點(diǎn).
若,過(guò)A作圓M的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q,求的大。
若圓M上存在兩點(diǎn)B,C,使得,求點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知cos(α﹣β)=﹣ ,cos(α+β)= ,且(α﹣β)∈( ,π),(α+β)∈( ,2π),則cos2α=( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x+ sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f( )= ,△ABC的面積為3 ,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函f(x)=ax2﹣ex(a∈R). (Ⅰ)a=1時(shí),試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明;
(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2).
(i) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ii)證明:﹣ . (注:e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面積為 . (Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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