【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x+ sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f( )= ,△ABC的面積為3 ,求a的最小值.
【答案】
(1)解:∵f(x)= sin2x+ sin2x= + sin2x= sin(2x﹣ )+ ,
∴2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得:kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z
(2)解:∵f( )= ,即: sin(2× ﹣ )+ = ,化簡(jiǎn)可得:sin(A﹣ )= ,
又∵A∈(0,π),可得:A﹣ ∈(﹣ , ),
∴A﹣ = ,解得:A= ,
∵S△ABC= bcsinA= bc=3 ,解得:bc=12,
∴a= = ≥ =2 .(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立).
故a的最小值為2
【解析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)= sin(2x﹣ )+ ,由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,即可得解函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)由f( )= ,化簡(jiǎn)可得:sin(A﹣ )= ,由A∈(0,π),可得A﹣ 的范圍,從而可求A的值,利用三角形面積公式可求bc=12,利用余弦定理,基本不等式即可解得a的最小值.
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B、C三位老師分別教數(shù)學(xué)、英語、體育、勞技、語文、閱讀六門課,每位教兩門.已知:
(1)體育老師和數(shù)學(xué)老師住在一起,
(2)A老師是三位老師中最年輕的,
(3)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常與C老師下象棋,
(4)英語老師比勞技老師年長(zhǎng),比B老師年輕,
(5)三位老師中最年長(zhǎng)的老師比其他兩位老師家離學(xué)校遠(yuǎn).
問:A、B、C三位老師每人各教哪幾門課?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC= AB,若四面體P﹣ABC的體積為 ,則該球的體積為( )
A.
B.2π
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和,若Tn≤λan+1對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級(jí)共派出個(gè)男生和個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場(chǎng)儀式,其中男生倪某為領(lǐng)隊(duì).入場(chǎng)時(shí),領(lǐng)隊(duì)男生倪某必須排第一個(gè),然后女生整體在男生的前面,排成一路縱隊(duì)入場(chǎng),共有種排法;入場(chǎng)后,又需從男生(含男生倪某)和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù),共有種選法.(1)試求和; (2)判斷和的大。),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的方程為 (θ為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為C2:ρcosθ+ρsinθ=1,若曲線C1與C2相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的值;
(2)求點(diǎn)M(﹣1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目.選手面對(duì)1~8號(hào)8扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會(huì)播放一段音樂(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確回答出這首歌的名字,方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金.在一次場(chǎng)外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段:20~30;30~40(單位:歲),其猜對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.
(1)寫出2×2列聯(lián)表;判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān);說明你的理由;(下面的臨界值表供參考) (參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(2)現(xiàn)計(jì)劃在這次場(chǎng)外調(diào)查中按年齡段選取6名選手,并抽取3名幸運(yùn)選手,求3名幸運(yùn)選手中在20~30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在亞丁灣海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的中國(guó)海軍“徐州”艦,在A處收到某商船在航行中發(fā)出求救信號(hào)后,立即測(cè)出該商船在方位角方位角(是從某點(diǎn)的指北方向線起,依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角)為45°、距離A處為10 n mile的C處,并測(cè)得該船正沿方位角為105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”艦立即以21 n mile/h的速度航行前去營(yíng)救.
(1)“徐州”艦最少需要多少時(shí)間才能靠近商船?
(2)在營(yíng)救時(shí)間最少的前提下,“徐州”艦應(yīng)按照怎樣的航行方向前進(jìn)?(角度精確到0.1°,時(shí)間精確到1min,參考數(shù)據(jù):sin68.2°≈0.9286)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+x(x﹣a)2(a∈R),若存在 ,使得f(x)>xf'(x)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.(3,+∞)
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