【題目】已知橢圓:的離心率為,左右頂點(diǎn)分別為,,右焦點(diǎn)為,為橢圓上異于,的動點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交軸與點(diǎn),試探究是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn).
【答案】(1);(2)存在.
【解析】
(1)由當(dāng)在軸時,面積最大,得,然后結(jié)合求解即可;
(2)先設(shè),求出點(diǎn),的坐標(biāo),然后求出以為直徑的圓的方程,再結(jié)合在橢圓上,代入方程整理得圓的方程為,然后令,求解即可.
解:(1)由題意知,當(dāng)在軸時,面積最大,
所以①,
又②,
聯(lián)立①②,得,,,
所以橢圓的方程為.
(2)設(shè),其中,則,,
所以直線的方程為,
令,得,即,
又,所以直線的方程為,
令,得,即,
所以,以為直徑的圓的方程為:
,
又,
且在橢圓上,
所以,
代入方程整理得圓的方程為
,
令,
則,
所以存在點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,為的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性,設(shè)的最小值為,并求證:
(2)若有三個零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果(以下簡稱水果),購入價為300元/袋,并以360元/袋的價格售出,若前8小時內(nèi)所購進(jìn)的水果沒有售完,則批發(fā)商將沒售完的水果以220元/袋的價格低價處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),2小時內(nèi)完全能夠把水果低價處理完,且當(dāng)天不再購入).該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計(jì)了100天水果在每天的前8小時內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
記表示水果一天前8小時內(nèi)的銷售量,表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營水果的利潤,表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的袋數(shù).
(1)若,求與的函數(shù)解析式;
(2)假設(shè)這100天中水果批發(fā)商每天購入水果15袋或者16袋,分別計(jì)算該水果批發(fā)商這100天經(jīng)營水果的利潤的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),每天應(yīng)購入水果15袋還是16袋?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動,加強(qiáng)校園安全教育宣傳,某高中對該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識測試(滿分100分),并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績,經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表,并繪制了得分在以及的莖葉圖,分別如圖23所示.
成績 | |||||||
頻數(shù) | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
圖1
(1)求這200名同學(xué)得分的平均數(shù);(同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表)
(2)如果變量滿足且,則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”.經(jīng)計(jì)算知樣本方差為210,現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”,則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的,否則視為不成功.試判斷該校的安全教育是否成功,并說明理由.
(3)學(xué)校決定對90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎勵,為了體現(xiàn)趣味性,采用抽獎的方式進(jìn)行,其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會,低于94的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會,每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率分別為:
獎金 | 50 | 100 |
概率 |
現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué),記其獲獎金額為,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,平面,,分別是棱,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求平面將三棱錐分成的兩部分的體積中較大部分的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,圓:,一動圓在軸右側(cè)與軸相切,同時與圓相外切,此動圓的圓心軌跡為曲線,橢圓與曲線有相同的焦點(diǎn).
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)曲線與橢圓相交于第一象限點(diǎn),且,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)在(2)的條件下,如果橢圓的左頂點(diǎn)為,過且垂直于軸的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),直線,與直線:分別交于,兩點(diǎn),證明:四邊形的對角線的交點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為,橢圓的一個焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,為橢圓上的兩個動點(diǎn),直線,的斜率分別為,,當(dāng)時,的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“難度系數(shù)”反映試題的難易程度,難度系數(shù)越大,題目得分率越高,難度也就越。“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為,其中,為難度系數(shù),為樣本平均失分,為試卷總分(一般為100分或150分).某校高三年級的李老師命制了某專題共5套測試卷(每套總分150分),用于對該校高三年級480名學(xué)生進(jìn)行每周測試.測試前根據(jù)自己對學(xué)生的了解,預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù),如下表所示:
試卷序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度系數(shù) | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
測試后,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:
試卷序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根據(jù)試卷2的難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分;
(2)從抽樣的50名學(xué)生的5套試卷中隨機(jī)抽取2套試卷,記這2套試卷中平均分超過96分的套數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測難度系數(shù)之間會有偏差.設(shè)為第套試卷的實(shí)測難度系數(shù),并定義統(tǒng)計(jì)量,若,則認(rèn)為本專題的5套試卷測試的難度系數(shù)預(yù)估合理,否則認(rèn)為不合理.試檢驗(yàn)本專題的5套試卷對難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.
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