【題目】某超市從年甲、乙兩種酸奶的日銷售量(單位:箱)的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取個,并按、、、、分組,得到頻率分布直方圖如圖,假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立.

1)寫出頻率分布直方圖甲中的的值;記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量(單位:箱)的方差分別為、,試比較的大;(只需寫出結論)

2)估計在未來的某一天里,甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于箱且另一個不高于箱的概率;

3)設表示在未來天內甲種酸奶的日銷售量不高于箱的天數(shù),以日留住量落入各組的頻率為概率,求的分布列和數(shù)學期望.

【答案】1,;(2;(3)分布列見解析,數(shù)學期望為.

【解析】

1)由各小矩形面積和為,先求出,由頻率分布直方圖可看出,甲的銷售量比較分散,而乙較為集中,由此能比、的大小;

2)分兩種情況討論:甲種酸奶的銷售量高于箱,乙種酸奶的銷售量不高于箱;甲種酸奶的銷售量不高于箱,乙種酸奶的銷售量高于箱.然后利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率;

3)由題意得出,利用二項分布可得出隨機變量的分布列,并計算出隨機變量的數(shù)學期望.

1)由各小矩形面積和為,得,解得

由頻率分布直方圖可看出,甲的銷售量比較分散,而乙較為集中,主要集中在箱,故;

2)設事件:在未來的某一天里,甲種酸奶的銷售量不高于箱;

事件:在未來的某一天里,乙種酸奶的銷售量不高于箱;

事件:在未來的某一天里,甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于箱且另一個不高于箱.

,,

;

3)由題意可知,,,

,,

所以,隨機變量的分布列如下表所示:

隨機變量的數(shù)學期望為.

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分數(shù)區(qū)間

人數(shù)

2

8

32

38

20

1)根據(jù)上述表格,試估計唐老師所任教班級的學生在本次期末數(shù)學測試的平均成績;

2)現(xiàn)從成績在中按照分數(shù)段,采取分層抽樣的方法隨機抽取5人,再在這5人中隨機抽取2人作小題得分分析,求恰有1人的成績在上的概率.

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2)若,是曲線上的兩點,求的值.

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解法如下:,

當且僅當,即時取到等號,

的最小值為.

應用上述解法,求解下列問題:

(1)已知,,求的最小值;

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求證:.

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