Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象關于y軸對稱，其圖象過點A（0，-1），且在x=

3

2

處有極大值

1

8

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對任意的x∈R，不等式f（x）-tx²-t≤0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)的性質

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象關于y軸對稱，求出b和d的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，-1）求出e，然后根據(jù)在x=

3

2

處有極大值

1

8

，建立一等量關系，再根據(jù)切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可求得結果；
（2）根據(jù)對任意x∈R，不等式f（x）-tx²-t≤0恒成立，分離參數(shù)，進而利用基本不等式即可求得結果．

解答： 解：∵f（x）關于y軸對稱，∴f（x）為偶函數(shù)，
即f（x）=f（-x），
∴a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+ax²+dx+e
得b=d=0，
圖象過A（0，-1）得e=-1，
∴f（x）=ax⁴+cx²-1
又f（x）在x=

3

2

處有極大值

1

8

，
∴f′(

3

2

)=0且f(

3

2

)=

1

8

，
解得a=-2，c=3，
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1；
（2）∵f（x）≤t（x²+1），
∴t≥

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2(x2+1)2+7(x2+1)-6

x2+1

=7-[2(x2+1)+

6

x2+1

]
∵7-[2(x2+1)+

6

x2+1

]≤7-4

3

，當且僅當2(x2+1)=

6

x2+1

即x2=

3

-1的取等號，
∴t的取值范圍為[7-4

3

，+∞）．

點評：本題注意考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及分離參數(shù)的方法解決函數(shù)恒成立的問題，在解題時注意導數(shù)的幾何意義的應用和基本不等式求最值應注意的問題，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．