Question

A、B是拋物線y²=4x上的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB（O為原點(diǎn)），求證：直線AB過一個定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點(diǎn)M（4，0）．

解答： 解：設(shè)直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評：本題考查直線過定點(diǎn)的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．