Question

4．設(shè)函數(shù)$f（x）={log_2}（1+a•{2^x}+{4^x}）$，其中a為常數(shù)
（1）當(dāng)f（2）=f（1）+2時(shí)，求a的值；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥x-1恒成立，試求a的取值范圍；
（3）若a∈R，試求函數(shù)y=f（x）的定義域．

Answer 1

分析 （1）直接代入，解方程即可；
（2）不等式可整理為$a≥-{2^x}-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2}$，只需求出右式的最大值即可．利用換元法令t=2^x，t∈[2，+∞）
得出$h（t）=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$，根據(jù)定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值；
（3）利用換元法m=2^x（m＞0）即m²+a•m+1＞0，對(duì)二次不等式m²+a•m+1＞0分類討論，求出函數(shù)的定義域即可．

解答 解：（1）．f（2）=f（1）+2⇒log₂（1+4a+16）=log₂（1+2a+4）+log₂4⇒log₂（17+4a）=log₂4（5+2a）⇒17+4a=20+8a⇒$a=-\frac{3}{4}$…（3分）
（2）${log_2}（1+a•{2^x}+{4^x}）≥x-1={log_2}{2^{x-1}}$1+a•2^x+4^x≥2^x-1⇒$a≥-{2^x}-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2}$
令t=2^x∵x∈[1，+∞）∴t∈[2，+∞）
設(shè)$h（t）=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$，2≤t₁＜t₂
∴$h（{t_1}）-h（{t_2}）=-{t_1}-\frac{1}{t_1}+{t_2}+\frac{1}{t_2}=（{t_2}-{t_1}）•\frac{{{t_1}{t_2}-1}}{{{t_1}{t_2}}}$
∵（t₂-t₁）＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0
∴h（t₁）＞h（t₂）
∴h（t）在[2，+∞）上為減函數(shù)，
∴t=2時(shí)，$y=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$有最大值為-2
∴a≥-2…（8分）
（3）1+a•2^x+4^x＞0⇒
令m=2^x（m＞0）即m²+a•m+1＞0
①當(dāng)△=a²-4＜0⇒-2＜a＜2m∈R⇒x∈R
②當(dāng)△=a²-4=0⇒a=2或a=-2
若a=2，（m+1）²＞0又m＞0⇒x∈R
若a=-2，（m-1）²＞0又m≠1⇒x∈{x|x≠0，x∈R}
③當(dāng)△=a²-4＞0⇒a＞2或a＜-2
設(shè)g（m）=m²+a•m+1而g（0）=1＞0
若a＞2，$-\frac{a}{2}＜-1$而m＞0⇒x∈R
若a＜-2，$-\frac{a}{2}＞1$而m＞0⇒$0＜m＜\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或m＞\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$⇒${2^x}＜\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或{2^x}＞\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$⇒$x＜{log_2}\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或x＞{log_2}\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$
綜上：①當(dāng)a＞-2時(shí) f（x）定義域?yàn)镽
②當(dāng)a≤-2時(shí)f（x）定義域?yàn)?（-∞，{log_2}\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）∪（{log_2}\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，+∞）$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了利用換元法和根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，對(duì)復(fù)合函數(shù)，利用對(duì)二次不等式的分類討論求函數(shù)的定義域問(wèn)題．難點(diǎn)是分類討論．