如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M為線段AB的中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.
精英家教網(wǎng)
分析:(Ⅰ)要證BC⊥平面ACD,只需證明BC垂直平面ACD內(nèi)的兩條相交直線AC、OD即可;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,利用向量的數(shù)量積,求二面角A-CD-M的余弦值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)在圖1中,可得AC=BC=2
2
,從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
取AC中點(diǎn)O連接DO,則DO⊥AC,又面ADC⊥面ABC,
面ADC∩面ABC=AC,DO?面ACD,從而OD⊥平面ABC,(4分)
∴OD⊥BC
又AC⊥BC,AC∩OD=O,
∴BC⊥平面ACD(6分)
另解:在圖1中,可得AC=BC=2
2
,
從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC,面ADE∩面ABC=AC,BC?面ABC,從而BC⊥平面ACD
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示,
M(0,
2
,0)
,C(-
2
,0,0)
,
D(0,0,
2
)
CM
=(
2
,
2
,0)
,
CD
=(
2
,0,
2
)
(8分)
設(shè)
n1
=(x,y,z)
為面CDM的法向量,
n1
CM
=0
n1
CD
=0
2
x+
2
y=0
2
x+
2
z=0
,解得
y=-x
z=-x

令x=-1,可得
n1
=(-1,1,1)

n2
=(0,1,0)
為面ACD的一個(gè)法向量
cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
3
=
3
3

∴二面角A-CD-M的余弦值為
3
3
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面的存在的判定,二面角的求法,考查邏輯思維能力和空間想象能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求證:平面EFH∥平面PBC;
(Ⅱ)求直線HE與平面PHB所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PA上是否存在一點(diǎn)M,使得M到P,H,A,F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等?請(qǐng)說明理由.

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(2013•韶關(guān)二模)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=
12
AB=2
,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.
(1)求證:DA⊥BC;
(2)在CD上找一點(diǎn)F,使AD∥平面EFB;
(3)求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

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(Ⅰ)求證:PE⊥平面ADP;
(Ⅱ)求異面直線BD與PF所成角的余弦值;
(Ⅲ)在線段PF上是否存在一點(diǎn)M,使DM與平在ADP所成的角為30°?若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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