Question

求下列函數(shù)的定義域、值域．
（1）y=(

1

2

)1+2x-x2
（2）y=(

3

2

) -|x|．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閤無論取何實(shí)數(shù)，1+2x-x²都有意義，且指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)y=(

1

2

)1+2x-x2的定義域?yàn)镽；
（2）因?yàn)閤無論取何實(shí)數(shù)，-|x|都有意義，且指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)y=(

3

2

) -|x|的定義域?yàn)镽．

解答：解：（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以1+2x-x²不論取何值，函數(shù)y=(

1

2

)1+2x-x2都有意義，所以x可以取所有實(shí)數(shù)，即函數(shù)y=(

1

2

)1+2x-x2的定義域?yàn)镽；
令t=-x²+2x+1，此函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向下，所以函數(shù)有最大值，即tmax=

4×(-1)×1-22

4×(-1)

=2．
因?yàn)橐?span id="59jnj9z" class="MathJye">

1

2

為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，
則y=(

1

2

)1+2x-x2=(

1

2

)t≥(

1

2

)2=

1

4

．
所以，函數(shù)y=(

1

2

)1+2x-x2的值域?yàn)?span id="z5dhl1t" class="MathJye">[

1

4

，+∞)．
（2）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以-|x|不論取何值，函數(shù)y=(

3

2

) -|x|都有意義，所以x可以取所有實(shí)數(shù)，即函數(shù)y=(

3

2

) -|x|的定義域?yàn)镽；
令t=-|x|，則t≤0．
因?yàn)橐?span id="ndpthtz" class="MathJye">

3

2

為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，
則y=(

3

2

) -|x|=(

3

2

)t≤(

3

2

)0=1．
又指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值大于0，
所以，函數(shù)y=(

3

2

) -|x|的值域?yàn)椋?，1]．

點(diǎn)評：本題考查了簡單復(fù)合函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，訓(xùn)練了指數(shù)不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是熟記指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．