Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以作出曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的方程組，解方程組求得后可得函數(shù)的解析式．（2）設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)后可得，即為切線的斜率，然后根據(jù)斜率公式可得，即．若函數(shù)有三條切線，則函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的極值可得所求范圍．

試題解析；

（1）∵，

∴，

根據(jù)題意得，解得，

∴函數(shù)的解析式為.

（2）由（1）得．

設(shè)切點(diǎn)為，則， ，故切線的斜率為，

由題意得，

即，

∵ 過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線

∴方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

∴函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

由于，

∴當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)， 有極大值，且極大值為；

當(dāng)時(shí)， 有極小值，且極小值為．

∵函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，

∴，

解得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．