Question

13．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），對(duì)任意x∈[0，+∞），均滿足：xf'（x）＞-2f（x）．若g（x）=x²f（x），則不等式g（2x）＜g（1-x）的解集是（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）$
• C． $（{-1，\frac{1}{3}}）$
• D． $（{-∞，-1}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意和乘積的導(dǎo)數(shù)可得偶函數(shù)g（x）=x²f（x）在R上單調(diào)遞增，可化原不等式為|2x|＜|1-x，解之可得．

解答 解：由題意可得函數(shù)g（x）=x²f（x）為R上的偶函數(shù)，
∵xf'（x）＞-2f（x），x²f′（x）+2xf（x）＞0，
∴g′（x）=（x²f（x））′=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴g（x）=x²f（x）在[0，+∞）R上單調(diào)遞增，
∵不等式g（2x）＜g（1-x），
∴|2x|＜|1-x|，
即（x+1）（3x-1）＜0，
解得-1＜x＜$\frac{1}{3}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性，屬基礎(chǔ)題．