Question

（本小題滿分13分）三棱錐P－DEF中, 頂點(diǎn)P在平面DEF上的射影為O.

（Ⅰ）如果PE＝PF＝PD, 證明O是三角形DEF的外心（外接圓的圓心）

（Ⅱ）如果, , , ,證明: O是三角形DEF的垂心（三條高的交點(diǎn)）

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ））詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證點(diǎn)為的外心，即證點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，據(jù)題意易證是三個(gè)全等的三角形，所以，即點(diǎn)為外心；（Ⅱ）欲證點(diǎn)為垂心，只需證，根據(jù)已知結(jié)合勾股定理易證均為,直角三角形，加之，運(yùn)用相關(guān)線面垂直和線線垂直的相關(guān)判定和定理，不難得出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）如圖（一）所示，過點(diǎn)P作，分別連結(jié)，則

由線面垂直的定義可得，

，根據(jù)HL公理得

,所以點(diǎn)為的 外心.

（Ⅱ）如圖（二）所示，過點(diǎn)P作，分別聯(lián)結(jié)，并分別延長使交于點(diǎn)，則根據(jù)已知，

有,即：為（勾股定理逆定理），

同理可證：均為，

,

,，

又,

由

,,

同理可證：，

分別是三邊上的高，即：點(diǎn)為的垂心.

考點(diǎn)：線面垂直和線線垂直的相關(guān)判定和定理

考點(diǎn)：①三角形外心和垂心的定義；②線面垂直的定義、性質(zhì)和判定；③勾股定理和三角形全等判定.