Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{-{3^x}+m}}{{{3^{x+1}}+n}}$（m＞0，n＞0）．
（1）當(dāng)m=n=1時(shí)，證明：函數(shù)y=f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，求m，n的值；
（3）在（2）的條件下，解不等式f（f（x））+f（$\frac{1}{9}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）證明函數(shù)不是奇函數(shù)，只要找出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不等即可；
（2）由奇函數(shù)的定義，f（x）+f（-x）=0，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)x∈R恒成立即可得出m，n的值；
（3）由（2）可知f（x）的關(guān)系式，由f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)且，由f（f（x））+f（$\frac{1}{9}$）＜0，得$f（x）＞-\frac{1}{9}$，即可解得不等式．

解答 解：（1）∵當(dāng)m=n=1時(shí)，$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+1}}$，$f（-1）=\frac{1}{3}，f（1）=-\frac{1}{5}，f（-1）≠f（1）$，
∴函數(shù)y=f（x）不是奇函數(shù)．…（4分）
（2）由定義，在R上的函數(shù)$f（x）=\frac{{-{3^x}+m}}{{{3^{x+1}}+n}}$是奇函數(shù)對(duì)一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立，
即$\frac{-{3}^{x}+m}{{3}^{x+1}+n}$+$\frac{-{3}^{-x}+m}{{3}^{-x+1}+n}$=0，
整理得（3m-n）（3^x）²+（2mn-6）3^x+3m-n=0對(duì)任意x∈R恒成立，
故$\left\{{\begin{array}{l}{3m-n=0}\\{mn=3}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}}\right.$，…（10分）
（3）由$f（x）=\frac{1}{3}•\frac{{1-{3^x}}}{{1+{3^x}}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{{1+{3^x}}}-1）$在R上是單調(diào)減函數(shù)，…（12分）
又∵函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)且，由$f（f（x））+f（\frac{1}{9}）＜0$得$f（f（x））＜f（-\frac{1}{9}）$，
∴$f（x）＞-\frac{1}{9}$，…（14分）
化簡(jiǎn)得3^x＜2，
∴x＜log₃2．      …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力和靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．