Question

17．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的普通方程；
（2）若點(diǎn)M在曲線C₁上運(yùn)動(dòng)，求M到曲線C的距離的最小值，并求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入公式sin²α+cos²α=1可得C₁普通方程．
（2）曲線C是直線，其直角坐標(biāo)方程為x+2y-10=0，點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為（3cosα，2sinα），由點(diǎn)到直線距離公式可得M到直線的距離能求出最小值．

解答 解：（1）∵曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²a=1，
得曲線C₁的普通方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0，
設(shè)點(diǎn)M（3cosα，2sinα），
由點(diǎn)到直線的距離公式得：$d=\frac{{\left|{3cosα+4sinα-10}\right|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}\left|{5cos（α-φ）-10}\right|$，
其中$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$，
∴α-φ=0時(shí)，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此時(shí)$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的普通方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．