Question

14．如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求異面直線FC與DE所成角的余弦值；
（2）求證：平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）直線AF與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB，CD交于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，確定∠FBC（或其補角）為異面直線FC與DE所成角，即可求異面直線FC與DE所成角的余弦值；
（2）證明AC⊥平面BDEF，即可證明平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）由（1）可得直線AF與平面ABCD所成角為∠FAO，即可直線AF與平面ABCD所成角的正切值．

解答 （1）解：設(shè)AB=2a，AB∩CD=O，連接DF，OF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O為AC的中點，
∴AC⊥OF，
∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，
∴AO=OF=$\sqrt{3}$a，
∴FA=FC=$\sqrt{6}$a．
∵FB∥DE，
∴∠FBC（或其補角）為異面直線FC與DE所成角，
∵BC=BF=2a，
∴cos∠FBC=$\frac{4{a}^{2}+4{a}^{2}-6{a}^{2}}{2×2a×2a}$=$\frac{1}{4}$，
∴異面直線FC與DE所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$；
（2）證明：∵AC⊥OF，AC⊥BD，BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF，
∵AC?平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）解：由（1）可得直線AF與平面ABCD所成角為∠FAO，
∴tan∠FAO=$\frac{FO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}a}$=1，
∴直線AF與平面ABCD所成角的正切值為1．

點評 本題考查了線面垂直、平面與平面垂直的判定，菱形的性質(zhì)，異面直線FC與DE所成角的余弦值、直線AF與平面ABCD所成角的正切值的計算，屬于中檔題．