Question

17．填空題：方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$的解的個(gè)數(shù)為11個(gè)．

Answer 1

分析 x=0時(shí)，方程成立，當(dāng)x≠0時(shí)，做出y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)．

解答 解：顯然x=0是方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$的解，
當(dāng)x≠0時(shí)，由$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$得|sinπx|=$\frac{x-3\root{3}{x}}{\root{3}{x}}$=$\root{3}{{x}^{2}}$-3，
做出y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3在（0，+∞）上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知兩函數(shù)圖象在（0，+∞）上有5個(gè)交點(diǎn)，
又y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3都是偶函數(shù)，
∴兩函數(shù)圖象在（-∞，0）上也有5個(gè)交點(diǎn)，
綜上，方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$共有11個(gè)解．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．