Question

15．設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，$f（x）+\frac{x}{3}f'（x）＞0$，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（-2，2）
• D． （0，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通過令g（x）=x³f（x）可知問題轉(zhuǎn)化為解不等式g（x）＞0，利用當(dāng)x＞0時(shí)x³f′（x）+3x²f（x）＞0及奇函數(shù)與偶函數(shù)的積函數(shù)仍為奇函數(shù)可知g（x）在（-∞，0）遞減、在（0，+∞）上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：令g（x）=x³f（x），則問題轉(zhuǎn)化為解不等式g（x）＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+3f（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，3x²f（x）+x³f′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（-2）=0，f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，
∴f（2）=0，g（2）=0，且g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0的解集為（2，+∞），
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＞0=g（-2）的解集為（-2，0），
∴使得f （x）＞0成立的x的取值范圍是（-2，0）∪（2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．