Question

（2010•上虞市二模）已知數(shù)列{a_n}，滿(mǎn)足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），則{a_n}的通項(xiàng)a_n=

1      n=1 n！ 2   n≥2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知的遞推式，求得a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，減去已知等式，求得a_n+1=（n+1）a_n，進(jìn)而可求得每相鄰兩項(xiàng)的比，然后用疊乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：由已知，得a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，用此式減去已知式，得
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=na_n，即a_n+1=（n+1）a_n，又a₂=a₁，
所以a₁=1，

a2

a1

=1，

a3

a2

=3，

a4

a3

=4，…

an

an-1

=n，上式相乘求得a_n=

n！

2

（n≥2）
故答案為：a_n=

1      n=1 n！ 2   n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于a_n+1=f（n）a_n的形式，一般是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

an+1

an

，利用累乘法（逐商相乘法）求解．