Question

為征求個(gè)人所得稅修改建議，某機(jī)構(gòu)對(duì)當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖胝{(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖D10-3．
（1）求居民月收入在[3000，4000]的頻率；
（2）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[2500，3000）的這段應(yīng)抽多少人？
（3）若將頻率視為概率，對(duì)該地居民隨機(jī)抽三人進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這三人月收入不低于3000元的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用頻率分布直方圖直接求出居民月收入在[3000，4000]的頻率；
（2）為求出月收入在[2500，3000）的頻率，求出抽樣比，然后月收入在[2500，3000）的這段應(yīng)抽人數(shù)．（3）頻率視為概率，對(duì)該地居民隨機(jī)抽三人進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這三人月收入不低于3000元的人數(shù)為X，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直接求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）月收入在[3000，4000]的頻率為

X	0	1	2	3
P	0.512	0.384	0.096	0.008

0.0003×（3500-3000）+0.0001×（4000-3500）=0.2．----------3分
（2）居民月收入在[2500，3000）的頻率為0.0005×（3000-2500）=0.25，
所以10000人中月收入在[2500，3000）的人數(shù)為0.25×10000=2500（人），
再?gòu)?0000人中用分層抽樣方法抽出100人，
則月收入在[2500，3000）的這段應(yīng)抽取100×10000（2500）=25（人）．-------6分
（3）記“在一次抽取中月收入不低于3000元”為事件A，則P（A）=0.2．
隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3
∴X的分布列為X～B（3，0.2），（k=0，1，2，3）
∴數(shù)學(xué)期望E（X）=3×0.2=0.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型的概率分布，與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題，關(guān)鍵是分類求解判斷．