Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列五個命題：
①點P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②點P在直線BC₁，從B到C₁上運動時，P到平面AD₁C的距離變��；
③點P在直線BC₁上運動時，A₁D⊥AP；
④點P在直線BC₁上運動時，平面AD₁C∥平面A₁BP；
⑤M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則M點的軌跡是過D₁點的直線．
其中真命題的編號是

 

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,空間位置關系與距離

分析：①可通過BC₁∥平面AD₁C，則BC₁上任一點到平面AD₁C的距離相等，V_A-D1PC=V_P-AD1C，即可判斷；
②可通過BC₁∥平面AD₁C，則BC₁上任一點到平面AD₁C的距離相等，即可判斷；
③由線面垂直的判定和性質(zhì)，即可得到；
④由面面平行的判定，即可得證；
⑤由于在空間中與點C₁和D距離相等點在垂直且平分線段DC₁的平面上，即平面A₁BCD₁，又平面A₁BCD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁D₁，即可得到．

解答： 解：①∵BC₁∥AD₁，∴BC₁∥平面AD₁C，∴BC₁上任一點到平面AD₁C的距離相等，
又V_A-D1PC=V_P-AD1C，則三棱錐A-D₁PC的體積不變，故①正確；
②點P在直線BC₁，從B到C₁上運動時，AP的長度會改變，但P到平面AD₁C的距離不變，
故②錯；
③∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，AP?平面ABC₁D₁，∴A₁D⊥AP，故③正確；
④∵平面AD₁C∥平面A₁BC₁，∴平面AD₁C∥平面A₁BP，故④正確；
⑤由于在空間中與點C₁和D距離相等點在垂直且平分線段DC₁的平面上，即平面A₁BCD₁，又平面
A₁BCD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁D₁，∴平面A₁B₁C₁D₁上與點D和C₁距離相等點的軌跡是過D₁點的直線
故⑤正確．
故答案為：①③④⑤

點評：本題考查空間位置關系和距離和體積，考查線面的位置關系和面面的位置關系，主要是垂直和平行，記熟這些定理是迅速解題的關鍵．