Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出數(shù)量積$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，計算模長|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，再根據(jù)投影的定義計算$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|×cos60°=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=2²+2×2+2²=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$；
設(shè)$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2²+2=6，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|cosθ=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義、夾角公式以及投影的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．