Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，由題意可知：f（1）=10，f′（1）=0，即可求得a和b的值，求得函數(shù)解析，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的極值，求得函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，則f（1）=10，f′（1）=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b+{a}^{2}=10}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，則f（x）=x³-3x²+3x+9，求導(dǎo)f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴當(dāng)x=1，無極值，不成立，
$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，則f（x）=x³+4x²-11x+16，
函數(shù)f（x）的解析式f（x）=x³+4x²-11x+16．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．