Question

已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（2）=-1，不等式組

x＞0 f(x)＜0

的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的圖象并根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意得當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），由f（2）=-1，求得a 的值，即得f（x）的解析式．x＜0時(shí)，則有-x＞0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式．
（2）作出f（x）的圖象，方程f（x）-c=0得根的個(gè)數(shù)即直線y=c和y=f（x）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x²-4x+3．
當(dāng)x＜0時(shí)，則有-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即：f（x）=-x²-4x-3．
當(dāng)x=0時(shí)，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．
所以，f(x) = 

x2-4x+3 ， (x＞0) 0  ，  (x=0) -x2-4x-3  ， (x＜0)

．…（5分）
（2）作圖（如圖所示）：
  …（8分）
由f（x）-c=0得：c=f（x），在上圖中作y=c，根據(jù)直線y=c和y=f（x）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)討論方程的根：
當(dāng)c≥3或c≤-3，方程有1個(gè)根．
當(dāng)1＜c＜3或-3＜c＜-1，方程有2個(gè)根．
當(dāng)c=-1或c=1，方程有3個(gè)根．
當(dāng)0＜c＜1或-1＜c＜0，方程有4個(gè)根．
當(dāng) c=0，方程有5個(gè)根．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的個(gè)數(shù)判斷方法、函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．