Question

12．在平面直角坐標(biāo)系XOY中，圓C：（x-a）²+y²=a²，圓心為C，圓C與直線l₁：y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為2．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l₂與l₁垂直，且與圓C交于不同兩點A、B，若S_△ABC=2，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓C與直線l₁：y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為2，可知交點坐標(biāo)，代入求出a值，可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l₂與l₁垂直，可設(shè)直線l₂：y=x+m，結(jié)合S_△ABC=2，求出m值，可得直線l₂的方程．

解答 解：（1）由圓C與直線l₁：y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為2，
可知交點坐標(biāo)為（2，-2），
∴（2-a）²+（-2）²=a²，解得：a=2，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+y²=4，
（2）由（1）可知圓C的圓心C的坐標(biāo)為（2，0）
由直線l₂與直線l₁垂直，直線l₁：y=-x可設(shè)直線l₂：y=x+m，
則圓心C到AB的距離d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，
|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-x9lvp1p^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{（2+m）^{2}}{2}}$
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{4-\frac{（2+m）^{2}}{2}}$•$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$=2
令t=（m+2）²，化簡可得-2t²+16t-32=-2（t-4）²=0，
解得t=（m+2）²=4，
所以m=0，或m=-4
∴直線l₂的方程為y=x或y=x-4．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，直線垂直的充要條件，弦長公式，難度中檔．