已知正三棱柱ABC-A1B1C1，若過(guò)面對(duì)角線AB1與另一面對(duì)角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點(diǎn)D．
（1）確定D的位置，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：平面AB1D⊥平面AA1D．

【答案】分析：（1）先將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一直平行六面體ABCE-A1B1C1E1，然后根據(jù)AE1∥BC1，AE1?平面AB1E1，滿足線面平行的判定定理，則BC1∥平面AB1E1，從而平面AB1E1應(yīng)為所求平面，由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A1C1的中點(diǎn)．
（2）欲證平面AB1D⊥平面AA1D，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AB1D內(nèi)一直線與平面AA1D垂直，連接AD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知B1E1⊥平面AA1D，而B(niǎo)1E1?平面AB1D，滿足定理所需條件．
解答：（1）解：如圖，將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一直平行六面體ABCE-A1B1C1E1，
由AE1∥BC1，AE1?平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，
故平面AB1E1應(yīng)為所求平面，
此時(shí)平面AB1E1交A1C1于點(diǎn)D，
由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A1C1的中點(diǎn)．
（2）證明：連接AD，從直平行六面體定義知AA1⊥底面A1B1C1D1，
且從A1B1C1E1是菱形知，B1E1⊥A1C1，據(jù)三垂線定理知，B1E1⊥AD．
又AD∩A1C1=D，所以B1E1⊥平面AA1D，
又B1E1?平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AA1D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1，高為h（h＞2），動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)棱BB1上移動(dòng)．設(shè)AM與側(cè)面BB1C1C所成的角為θ．
（1）當(dāng)θ∈[
π
6
，
π
4
]時(shí)，求點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當(dāng)θ=
π
6
時(shí)，求向量
AM
與
BC
夾角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長(zhǎng)均為a，M為棱A1C1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)M在何處時(shí)，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線B1C=10，
（1）若D為AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面C1BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB1，當(dāng)λ為何值時(shí)，AP∥平面C1BD；
（3）在（1）的條件下，求直線AB1到平面C1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=1．
（1）求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求證：A1C∥平面AB1D；
（3）求二面角B-AB1-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•湖北模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都為a，P為棱A1B上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)C1到面PAC的距離．

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