Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$，x∈R），在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)$x=\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)取最大值3，當(dāng)$x=\frac{7π}{12}$時(shí)，函數(shù)取最小值-1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象上所有點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{3}{2}$倍，得到g（x）的圖象，討論g（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最值計(jì)算A，B，根據(jù)周期計(jì)算ω，根據(jù)f（$\frac{π}{4}$）=3計(jì)算φ；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換得出g（x）的解析式，求出g（x）的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=1}\end{array}\right.$．
f（x）的周期T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$）=$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
∵f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{3π}{4}$+φ）+1=3，
∴$\frac{3π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∴φ=-$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）+1．
（2）g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]∩[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]=[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]，
∴g（x）在[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]上單調(diào)遞增，在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{3π}{8}$]，[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象變換，屬于中檔題．