Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=

2

，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點，F(xiàn)在PC上．
（1）求F在何處時，EF⊥平面PBC；
（2）在條件（1）下，EF是否為PC與AD的公垂線段？若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；
（3）在條件（1）下，求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）、建立空間坐標系利用空間向量共線、空間向量垂直建立方程計算出F點坐標，從而判斷出F是PC中點；
（2）、利用（1）的結論及BC轉(zhuǎn)化了垂直關系，再利用空間兩點間的距離公式計算出；
（3）、找到法向量，再利用直線與平面的夾角計算公式，可得到夾角．

解答：（1）以A為坐標原點，分別以射線AD、AB、AP為x軸、
y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），P（0，0，

2

)，B（0，

2

，0），C（2，

2

，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令

PF

=λ

PC

，
設F（x，y，z），

BC

=（2，0，0），

PC

=（2，

2

，-

2

)，

EF

=(x-1，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴

EF

•

BC

=0，

EF

•

PC

=0
又∵

PF

=λ

PC

，∴λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，
故F為PC的中點…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC與AD的公垂線段，
∵λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，∴

EF

=(0，

2

2

，

2

2

)，即|

EF

|=1…（8分）
（3）由（1）可知

PC

=（2，

2

，-

2

)，且PB=BC=2，F(xiàn)為PC的中點，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴

PC

為平面BEF的一個法向量，
而

BD

=(2，-

2

，0），設BD與平面BEF所成角為θ，
則sinθ=cos＜

BD

，

PC

＞=

BD • PC

| BD |•| PC |

=

3

6

，
∴θ=arcsin

3

6

，
故BD與平面BEF所成的角為arcsin

3

6

．…（12分）

點評：本題重點考查了空間向量共線、垂直，空間兩點間的距離公式，直線與平面的夾角計算公式．鍛煉了學生幾何問題代數(shù)化和學生的計算能力．