Question

設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足，則對(duì)、，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

Answer 1

【答案】分析：由映射f的對(duì)應(yīng)法則，可得f（）將零向量對(duì)應(yīng)到零向量，將一個(gè)非零向量對(duì)應(yīng)到與之同向的單位向量．由此對(duì)C項(xiàng)進(jìn)行證明，可得對(duì)任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正確；而對(duì)于A、B、D利用映射f的對(duì)應(yīng)法則結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)，分別舉出反例加以說(shuō)明，即可得到A、B、D均不正確．由此得到本題答案．
解答：解：根據(jù)題意，映射f（）的對(duì)應(yīng)法則是將零向量對(duì)應(yīng)到零向量，
將一個(gè)非零向量對(duì)應(yīng)到與之同向的單位向量，因此可得
對(duì)于A，若向量是方向相反且模不相等的兩個(gè)非零向量，
則，且=+=，
所以，得A項(xiàng)不正確；
對(duì)于B，若向量是方向相反且模不相等的兩個(gè)非零向量，則||•+||不是零向量，
可得f（||•+||）=
而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，若=，則f（||•）=f（）=；
若≠，則f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）
由以上的分析，可得對(duì)任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，若向量且，則f（||•+||）=f（）=
而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，
因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D項(xiàng)不正確
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出定義域?yàn)橄蛄考�的一個(gè)映射f，要我們驗(yàn)證關(guān)于映射f的幾個(gè)等式中哪一個(gè)正確．著重考查了平面向量的線性運(yùn)算法則和映射的概念等知識(shí)，屬于中檔題．