Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，求：
（1）函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
法二：利用平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
解答：解：（1）解法一：∵=2+sin2x+cos2x=（4分）
∴當(dāng)，即時(shí)，f（x）取得最大值．
因此，f（x）取得最大值的自變量x的集合是． （8分）

解法二：∵f（x）=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=（4分）
∴當(dāng)，即時(shí)，f（x）取得最大值．
因此，f（x）取得最大值的自變量x的集合是（8分）

（2）解：
由題意得，即．
因此，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是． （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)掌握的熟練程度，高考�？碱}型．