Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g（x）=ln（x+1）．
（1）求函數(shù)φ（x）=g（x）+x+1平行于直線2x-y+1=0的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）=|f（x）|-g（x）的最小值；
（3）已知0≤y＜x，試比較f（x-y）與g（x）-g（y）的大小，并證明結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，設(shè)出切點，由兩直線平行的條件可得m的方程，解方程可得m=0，再由點斜式方程可得切線的方程；
（2）化簡F（x），討論x≥0，x＜0，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最小值；
（3）根據(jù)所給的要證明的兩個代數(shù)式，構(gòu)造出新函數(shù)，對新函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的傳遞性，寫出要證的結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)φ（x）=g（x）+x+1=ln（x+1）+x+1的導數(shù)為
φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$+1，
設(shè)切點為（m，n），即有1+$\frac{1}{1+m}$=2，解得m=0，
即有切點為（0，1），
則切線的方程為y=2x+1；
（2）函數(shù)F（x）=|f（x）|-g（x）=|e^x-1|-ln（1+x），
當x≥0時，F(xiàn)（x）=e^x-1-ln（1+x），F(xiàn)′（x）=e^x-$\frac{1}{1+x}$，
由e^x≥1，$\frac{1}{1+x}$≤1，則F′（x）≥0，F(xiàn)（x）遞增，即有F（x）的最小值為F（0）=0；
當-1＜x＜0時，F(xiàn)（x）=1-e^x-ln（1+x），F(xiàn)′（x）=-e^x-$\frac{1}{1+x}$＜0，
即有F（x）遞減，無最小值．
綜上可得F（x）的最小值為0；
（3）g（x）-g（y）＜f（x-y）．
證明：令t（x）=g（x）-x=ln（1+x）-x，
t′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，（x＞0），
則t（x）在x＞0遞減，即有t（x）＜t（0）=0，
即有g(shù)（x）＜x，
由0≤y＜x，
得g（x）-g（y）≤x-y，
設(shè)h（x）=f（x）-x=e^x-x-1（x＞0）
h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上單增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞x
又∵x-y＞0，
∴f（x-y）＞x-y，
∴g（x）-g（y）≤x-y＜f（x-y）
∴g（x）-g（y）＜f（x-y）．

點評 本題是一個大型的函數(shù)綜合題目，題目包含的知識點比較多，適合作為高考題中的一道壓軸題目，注意題目中兩次使用構(gòu)造函數(shù)的思想，這是本題的閃光點．