Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；
（2）①求直線的斜率的取值范圍；
②在直線的斜率不斷變化過(guò)程中，探究和是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（1）由已知條件知，，得，又，
所以橢圓的方程為 …………4分
（2）直線的方程為，
聯(lián)立，得 ………6分
① 由于直線與橢圓相交，所以，
解得直線的斜率的取值范圍是 ………8分
②和總相等．證明：設(shè)，則
 …………9分
所以

 ………11分
所以 ………13分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于圓錐曲線的方程的求解，一般要通過(guò)其性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而化簡(jiǎn)運(yùn)算得到結(jié)論，同時(shí)在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的時(shí)候，一般都是采用的設(shè)而不求的思想，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式來(lái)進(jìn)行，同時(shí)得到解決。對(duì)于角的相等問(wèn)題，一般利用其斜率來(lái)說(shuō)明即可。屬于中檔題。