Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：（，且）．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．（2）[1，+∞）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上零點(diǎn)情況：當(dāng)k≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)恒大于零，為增函數(shù)；當(dāng)k＞0時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)x= ，先減后增（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化Wie對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，即，結(jié)合（1）的單調(diào)性情況，可得k＞0且f（）=ln≤0解得k≥1，（3）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般方法為構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)，利用其增減性進(jìn)行證明：因?yàn)?/span>k=1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2，令，則，代入疊加得證

試題解析：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）

∴f′（x）= ﹣k，

當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，

當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=

當(dāng)f′（x）＜0，即1＜x＜時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，

當(dāng)f′（x）＞0，即x＞時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，

綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，

當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．

（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，

當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．

當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最大值，f（）=ln≤0

∴k≥1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）

（Ⅲ）由（2）知k=1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

∴＜1﹣，

∵= = ＜ =

取x=3，4，5…n，n+1累加得

∴+…+＜+++…+ = ，（n∈N，n＞1）．