Question

已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)g（x）在（-∞，0）內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g（x•y）=g（x）+g（y）對(duì)任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）求g（4）的值；
（2）求滿足條g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵g（x•y）=g（x）+g（y）對(duì)任意的x，y都成立，g（2）=1．
令x=y=2時(shí)有g(shù)（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2
（2）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
又∵g（x）為偶函數(shù)，且g（x）在（-∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0
兩邊同時(shí)平方化簡可得，15x²+32x+16＜0
解二次不等式可得，-＜x＜-，且x≠-1
綜上x的取值范圍為（-，-1）∪（-1，-）
分析：（1）由g（x•y）=g（x）+g（y）對(duì)任意的x，y都成立及g（2）=1，考慮利用賦值法，取x=y=2可求g（4）；
（2）若g（x）＞g（x+1）+2，結(jié)合（1）及已知可以化簡為g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）為偶函數(shù)，且在（-∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，可得g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．從而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，還考查了偶函數(shù)的性質(zhì)：對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反的性質(zhì)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是由偶函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（a）＞g（b）可|a|＞|b|，考生容易漏洞由偶函數(shù)y=g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，從而誤寫為a＞b．