Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分別是PC．PD的中點，PA=AB=1，BC=2．
（I）求證：EF∥平面PAB；
（II）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標后，進而可求出直線EF，AB的方向向量，利用向量法，可證EF∥AB，進而線面平行的判定定理，得到答案．
（II）根據（I）中各向量的坐標，我們易得到•=0，•=0，即AP⊥DC，AD⊥DC，根據線面垂直的判定定理，我們可以得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAD⊥平面PDC；
（III）分別求出平面APD與平面BPD的法向量，然后代入向量夾角公式，即可求出二面角A-PD-B的余弦值．
解答：解：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）
∴E=（，1，），F(xiàn)（0，1，），
∴=（-，0，0），=（1，0，-1），=（0，2，-1），=（0，0，1），
=（0，2，0），=（1，0，0），=（1，0，0），
（Ⅰ）∵=（-，0，0），=（1，0，0），
∴∥
∴EF∥AB，
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（Ⅱ）∵•=（1，0，0）•（0，0，1）=0，
•=（0，2，0）•（1，0，0）=0，
∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴DC⊥平面PAD．∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（Ⅲ）設平面PBD的一個法向量，則
∴，即，解得平面APC的一個法向量．
而平面APD的一個法向量是=（1，0，0），設二面角A-PD-B為θ，
則cosθ==．
即二面角A-PD-B的余弦值為．
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面觚 平面角及其求法，其中利用向量法，可以降低本題的難度，但要選擇合適的原點，建立恰當?shù)淖鴺讼担?