Question

（2010•瀘州二模）已知首項(xiàng)為負(fù)的數(shù)列{a_n}中，相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，且前n項(xiàng)和為S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，對(duì)一切正整數(shù)n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

分析：（I）由S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．結(jié)合通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系公式，求得（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
再由相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，有a_n+1-a_n=2符合等差數(shù)列的定義．
（II）由（I）知a_n=2n-7，將

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)變形，再用裂項(xiàng)相消法求得T_n，再通過單調(diào)性來求得其最小值即可．

解答：解：（I）∵S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
∵an+1=

1

4

(an+1-5)(an+1 +7)-

1

4

(an-5)(an+7)．
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
∵相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)
∴a_n+1-a_n=2
∴數(shù)列{a_n}為公差為2的等差數(shù)列；

（II）由（I）知a_n=2n-7
∴

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)
∴Tn=

1

2

(

1

-5

-

1

-3

+

1

-3

 -

1

1

 +…+

1

2n-7

 -

1

2n-5

) =

1

2

(

1

-5

-

1

2n-5

)
因?yàn)門_n在[1，2][3，+∝）上是增函數(shù)．
且T₁=

1

15

，T3= -

3

5

要使得對(duì)一切正整數(shù)n都有T_n≥M成立
只要M≤-

3

5

∴M的最大值為-

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)問題，一是判斷數(shù)列，方法一般是定義法或通項(xiàng)公式法，二是求前n項(xiàng)和，常用方法是倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法等．