Question

若橢圓E₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1和橢圓E₂：

x2

a22

+

y2

b22

滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m（m＞0），則稱這兩個橢圓相似，m稱其為相似比．
（Ⅰ）求經(jīng)過點(diǎn)（

2

2

，

3

2

），且與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點(diǎn)的一條射線l分別與（Ⅰ）中的橢圓C₁，C₂交于A、B兩點(diǎn)，求|OA|•|OB|的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線l₁：y=kx與（Ⅰ）中橢圓C₂交于M、N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），且直線l₁與直線l₂：x=2交于點(diǎn)D，過D作DG∥MF（F為橢圓C₂的右焦點(diǎn)）且交x軸于點(diǎn)G，證明直線MG與橢圓C₂只有一個公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，結(jié)合題目條件可求得a²=2，b²=1；
（Ⅱ）對過原點(diǎn)的一條射線l的斜率分存在與不存在進(jìn)行討論，l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=

2

2

，當(dāng)l的斜率存在時，可求得|OA|•|OB|=

2

2

（1+

1

1+2k2

），從而可求得|OA|•|OB|的取值范圍；
（Ⅲ）直線l₁：y=kx代入

x2

2

+y2=1得x²+2k²x²=2，利用DG∥MF，求出G的坐標(biāo)，可得直線MG的方程，代入橢圓C₂，利用判別式可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)與橢圓C₁：x²+2y²=1相似的橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1．
則有

1 2 a2 + 3 4 b2 =1 a 1 = b 2 2

解得a²=2，b²=1．
∴所求方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）解：當(dāng)射線l的斜率不存在時，A（0，±

2

2

），B（0，±1），∴|OA||OB|=

2

2

當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，
則y=kx代入

x2

2

+y2=1，可得x²=

1

1+2k2

，y²=

k2

1+2k2

，
∴|OA|=

1+k2 1+2k2

，|OB|=

2+2k2 1+2k2

，
∴|OA||OB|=

1+k2 1+2k2

•

2+2k2 1+2k2

=

2

2

（1+

1

1+2k2

），
∴

2

2

＜|OA||OB|≤

2

，
綜上，

2

2

≤|OA||OB|≤

2

；
（Ⅲ）證明：直線l₁：y=kx代入

x2

2

+y2=1得x²+2k²x²=2，∴x²=

2

1+2k2

，
∴M（

2

1+2k2

，

2 k

1+2k2

），
∵F（1，0），
∴k_MF=

2 k

2 - 1+2k2

，
設(shè)G（x₁，0），∵D（2，2k），∴k_GD=

2k

2-x1

，
∵GD∥MF，
∴

2k

2-x1

=

2 k

2 - 1+2k2

，
∴x₁=

4k2+2

，
∴G（

4k2+2

，0）
∴k_MG=-

1

2k

，
∴直線MG：y=-

1

2k

（x-

4k2+2

），
代入橢圓得（2k²+1）x²-2

4k2+2

x+2=0，
∴△=（2

4k2+2

）²-8（2k²+1）=0，
∴直線MG與橢圓C₂只有一個公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，消參法求點(diǎn)的軌跡，難點(diǎn)在于直線與橢圓的綜合分析與應(yīng)用，思維深刻，運(yùn)算復(fù)雜，難度大，屬于難題．