Question

設(shè)z₁，z₂是兩個(gè)復(fù)數(shù)，已知z₁=3-4i，|z₂|=5，且z1•

.

z2

為純虛數(shù)．
（Ⅰ）求z₂；
（Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）對(duì)應(yīng)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z（x，y），求滿足|z-z₂|=3的動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡及軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（Ⅰ）根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算即可求z₂；
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)z₂=a+bi（a，b∈R），則由|z₂|=5得a²+b²=25…（1）
∵z1•

.

z2

=(3-4i)(a-bi)=(3a-4b)-(3b+4a)i為純虛數(shù)，
∴3a-4b=0…（2），
解（1）（2）得

a=4 b=3

或

a=-4 b=-3

，
∴z₂=4+3i或∴z₂=-4-3i．
（Ⅱ）當(dāng)z₂=4+3i時(shí)由|z-z₂|=3得軌跡方程（x-4）²+（y-3）²=9，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以（4，3）為圓心，3為半徑的圓；
當(dāng)z₂=-4-3i，由|z-z₂|=3得軌跡方程（x+4）²+（y+3）²=9，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以（-4，-3）為圓心，3為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義．