已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，橢圓的離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓右頂點(diǎn)，能否存在這樣的直線，使
AP
•
AQ
=3，若存在，求出直線方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（I）由題意可得
|MF1|+|MF2|=4=2a
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得
a=2，c=1
b2=3
．
故橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）若直線l⊥x軸，則P(-1，
3
2
)，Q(-1，-
3
2
)，
又A（2，0），∴
AP
=(-3，
3
2
)，
AQ
=(-3，-
3
2
)，
∴
AP
•
AQ
=9-
9
4
=
27
4
≠3，此時(shí)不滿足條件，直線l不存在．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ld的方程為：y=k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
聯(lián)立
y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，消去y得到（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=
-8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
．
∵
AP
=(x1-2，y1)，
AQ
=(x2-2，y2)．
∴
AP
•
AQ
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（x1-2）（x2-2）+k（x1+1）•k（x2+1）=3．
∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0，
∴
(1+k2)(4k2-12)
3+4k2
-
8k2(k2-2)
3+4k2
+k2+1=0，
解得k=±
15
5
．
∴滿足條件的直線l存在，其方程為y=±
15
5
(x+1)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過(guò)點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過(guò)點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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