Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-mx-m+3，m∈R．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）上，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-3x=0即可．
（2）求解△=m²-4（-m+3）＜0即可．
（3）根據(jù)二此函數(shù)性質(zhì)得出得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=3，f（x）=x²-3x，
解方程x²-3x=0得：x=0，或x=3
所以當(dāng)m=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=0，和x=3，
（2）由函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，知函數(shù)f（x）=x²-mx-m+3，m∈R．
與x軸無交點(diǎn)△=m²-4（-m+3）＜0，
∴m²+6m-12＜0，
∴-6＜m＜2
實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-6＜m＜2}
（3）有題意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+3＞0}\\{1-m-m+3＜0}\\{4-2m-m+3＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜3}\\{m＞2}\\{m＜\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴{m|2$＜m＜\frac{7}{3}$   }
  實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2$＜m＜\frac{7}{3}$   }

點(diǎn)評(píng) 本題把二次函數(shù)與二次方程有機(jī)的結(jié)合了起來，有方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系可知，求方程的根，就是確定函數(shù)的零點(diǎn)，也就是求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)