Question

6．如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點，則直線BE與平面PAC所成的角為60⁰．

Answer 1

分析 在正四棱錐中，連接AC，BD，交于O，連接PO，則PO⊥平面ABCD得到∠BEO是直線BE與平面PAC所成的角，根據(jù)條件結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：在正四棱錐P-ABCD中，連接AC，BD，交于O
連接PO，則PO⊥平面ABCD，
則在正四棱錐中，BO⊥平面PAC，
則連接OE，DE，
則∠BEO是直線BE與平面PAC所成的角，
∵正四棱錐P-ABCD的體積為2，底面積為6，
∴V=$\frac{1}{3}×6$•PO=2，則高PO=1，
∵底面積為6，∴BC=$\sqrt{6}$，OC=OB=$\sqrt{3}$，
則側(cè)棱PB=PC=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4}$=2，
∵E為側(cè)棱PC的中點，∴取OC的中點H，
則EH⊥OC，
則EH=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$，OH=$\frac{1}{2}OC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則OE=$\sqrt{O{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
在直角三角形BOE中，tan∠BEO=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
則∠BEO=60°，
故答案為：60⁰

點評 本題主要考查線面角的計算，根據(jù)線面角的定義結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)得到∠BOE是直線BE與平面PAC所成的角是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．