Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）求在區(qū)間上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為．

【解析】

試題分析：（1）研究單調(diào)性，可求出導(dǎo)函數(shù)，然后解不等式得單調(diào)增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間，注意絕對值，要分類求解；（2）由于，因此先分類，，，前兩種情形，絕對值符號直接去掉，因此只要用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得最值，第三種情形同樣要去絕對值符號，只是此時(shí)是分段函數(shù)，，，可以看出這時(shí)又要分類：，，得單調(diào)性再得最小值．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，．

①當(dāng)時(shí)，，，

∴在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，．

時(shí)，，∴在單調(diào)遞減；

時(shí)，，∴在單調(diào)遞增．

綜上，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．

（2）①時(shí)，，，

，．

②時(shí)，，，

，在單調(diào)遞增，

∴．

③時(shí)，而，

∴

（i）時(shí)，在上單增，為最小值．

在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，

∴．

（ii）時(shí)，在上單調(diào)遞增，．

在時(shí)，，

∴．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為．