Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．?dāng)?shù)列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求證：①b_n+1＞2b_n；②

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜2-

1

bn

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到{a_n}的通項公式；
（2）求出n≥2時，b_n=2b_n-1+1．構(gòu)造{b_n+1}，得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得到
{b_n}的通項公式；
（3）①作差b_n+1-2b_n分解因式，即可得證；②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

設(shè)S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，由放縮法即可得證．

解答： （1）解：n=1時，a₁=S₁=3，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1時也適合此式，故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2n+1；    
（2）解：依題意，n≥2時，bn=abn-1=2b_n-1+1．
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即b_n=2ⁿ-1，n=1滿足．
∴b_n=2ⁿ-1；                                 
（3）證明：①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0
則有b_n+1＞2b_n對一切自然數(shù)n都成立；               
②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

設(shè)S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，
則S＜

1

b1

+

1

2b1

+

1

2b3

+…+

1

2bn-1

=

1

b1

+

1

2

（S-

1

2bn

）
則有S＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

bn

．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項的求法，考查構(gòu)造數(shù)列的思想方法，以及放縮法證明不等式的方法，考查運算能力，屬于中檔題．