Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），已知|x|≤1時，|f（x）|≤1，證明：|x|≤2時，|f（x）|≤7．

Answer 1

考點：不等式的證明,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,不等式

分析：函數的圖象開口可能向上或者向下，不論本題是那種情況，都有區(qū)間兩端點的函數值小于等于1，|f（0）|≤1，在這些條件下，用不等式的基本性質結合放縮法證明．

解答： 證明：由已知條件知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
定義域為[-1，1]
∴|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1；
∵|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|=|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤3+1+3=7
∴|f（2）|≤7

點評：本考點考查二函數的最值及其幾何意義，不等式的性質，以及不等式證明時常用的技巧放縮法的技巧