【題目】已知橢圓C1以直線所過的定點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn),且短軸長為4.
(Ⅰ)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知橢圓C2的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍(>1),過點(diǎn)C(1,0)的直線l與橢圓C2交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),若,求△OAB的面積取得最大值時(shí)直線l的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) 或.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)根據(jù)直線過的定點(diǎn)可得,又b=2,可得,從而可得橢圓的方程.(Ⅱ)由題意設(shè)橢圓C2的方程為,結(jié)合條件可得點(diǎn)C(1,0)在橢圓C2內(nèi)部,又直線l的斜率存在,故設(shè)其方程為y=k(x+1) (k≠0),A(x1,y1), B(x2,y2),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后,根據(jù)二次方程的兩根之和及可得,又由題意可得,然后利用基本不等式求得△OAB面積的最值,并由此可得直線方程.
試題解析:
(Ⅰ)由題意,直線方程即為,
所以直線過定點(diǎn),故橢圓的焦點(diǎn)為.
又由題意可知b=2,
∴a2=c2+b2=9.
∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)由題意設(shè)橢圓C2的方程為,
∵>1,
∴點(diǎn)C(1, 0)在橢圓內(nèi)部,故直線l與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
由題意得直線l的斜率不存在時(shí)不和題意,從而得直線l的斜率存在且不為0,故設(shè)直線l的方程為y=k(x+1) (k≠0),
由消去x整理得
.
設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),
則.
∵,且點(diǎn)C(1, 0),
∴(1
∴y1= 2y2,
∴y1+y2= y2 ,故.
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即k=±時(shí)等號成立.
∴△OAB面積的最大值為,此時(shí)直線l的方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f()的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為自然對數(shù)的底數(shù), ).
(1)設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),證明:當(dāng)時(shí), 的最小值小于0;
(2)若恒成立,求符合條件的最小整數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年4月1日,新華通訊社發(fā)布:國務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出,河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點(diǎn).
(1)為了響應(yīng)國家號召,北京市某高校立即在所屬的8個(gè)學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查,8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
調(diào)查人數(shù)() | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整體搬遷人數(shù)() | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字);若該校共有教職員工2500人,請預(yù)測該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù);
(2)若該校的8位院長中有5位院長愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū),現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機(jī)選取4位院長組成考察團(tuán)赴雄安新區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察,記為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線.
(1)將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線,請寫出直線,和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)且, 與曲線交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著共享單車的成功運(yùn)營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機(jī)抽取人對共享產(chǎn)品對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進(jìn)行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的人中的性別以及意見進(jìn)行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)的概率不超過的前提下,認(rèn)為對共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?
(Ⅱ)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員,該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機(jī)發(fā)放張超市的購物券,購物券金額以及發(fā)放的概率如下:
現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券,記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式: .
臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球,現(xiàn)從袋中每次取出一個(gè)球,若取出的是紅球,則放回袋中,繼續(xù)取一個(gè)球,若取出的是白球,則不放回,再從袋中取一球,直到取出兩個(gè)白球或者取球5次,則停止取球,設(shè)取球次數(shù)為,
(1)求取球3次則停止取球的概率;
(2)求隨機(jī)變量的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:()與直線:相切,設(shè)點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn),軸于,且動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)直線與直線垂直且與曲線交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角的值.
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