Question

15．已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）討論點C的軌跡的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y），則由題知$\frac{y}{x-5}•\frac{y}{x+5}=m$，
即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{-25m}=1（x≠±5）$為點C的軌跡方程．…（4分）
（Ⅱ）當m＞0時，點C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線；
當m＜-1時，點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，點C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為5的圓；
當-1＜m＜0時，點C的軌跡為焦點在x軸上的橢圓．…（12分）

點評 本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．