Question

f（x，y）=0（或：y=f（x））在其上兩個不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線，f（x，y）=0（或y=f（x）＞的自公切線，下列方程的曲線存在公切線的序號為

 

（填上所有正確的序號）①y-x²=|x；②|x|+1=

x-y2

； ③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1； ⑤y=xcosx．

Answer 1

分析：通過畫出函數(shù)圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個不同點(diǎn)處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，從而得到結(jié)論．

解答：解：函數(shù) y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求，故①存在；
而對于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的圖形為圖中實(shí)線部分，不滿足要求，故②不存在
函數(shù)y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5，故③存在；
x²-y² =1為等軸雙曲線，不存在自公切線，故④不存在．  
函數(shù) y=xcosx的圖象如下右圖顯然滿足要求，存在自公切線，故⑤存在；
  
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．