Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x．
（Ⅰ）若x=1時(shí)函數(shù)f（x）有極值，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，分別記為x₁，x₂，x₃，證明：f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax-a²
∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極值，
∴f'（1）=0
即3-2a-a²=0
∴a=1或a=-3
經(jīng)檢驗(yàn)a=1或a=-3符合題意
（Ⅱ）令f'（x）=0即3x²-2ax-a²=0
解得x=a或
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，
∴為增函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
（2）當(dāng)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）
（3）當(dāng)
∴為增函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅲ）∵f（x）=x（x²-ax-a²）
∴x=0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)x₁x₂是方程x²-ax-a²=0的兩根，
∴x₁+x₂=a

又知當(dāng)取得最小值
即函數(shù)y=f'（x）的最小值為
分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出分成求出a的值，代入驗(yàn)證極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否相反．
（II）令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，通過討論a的范圍確定出兩個(gè)根的大小，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出單調(diào)遞增區(qū)間．
（III）利用二次方程的韋達(dá)定理得到的值，利用（II）得到函數(shù)的極小值，得證．
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題，要注意極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)有極值的必要不充分條件；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0求出單調(diào)遞減區(qū)間．