Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+mx²-m（m∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{2}{3}$），求m的值；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式求解即可．
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）最大值和最小值，再分類討論，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+mx²-m，
∴f′（x）=-3x²+2mx=x（-3x+2m），
當f′（x）≥0時，即x（x-$\frac{2}{3}$m）≤0時，單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{2}{3}$），
∴m=1，
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
當m＞0時，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2m}{3}$）上單調(diào)增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+2m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{16}{27}$m³-m，
當$\frac{16}{27}$m³-m＜0時，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當$\frac{16}{27}$m³-m≥0時，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
若m≥$\frac{16}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{4}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
若m＜$\frac{16}{27}$m³-m，即m≥$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{16}{27}$m³-m，
綜上所述：當0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當m≥$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{16}{27}$m³-m．

點評 本題考查學生對函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)應(yīng)用，及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)的最值問題，解題中注意分類討論思想的運用，屬于中檔題．