【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡于,兩點(diǎn),軌跡上異于,的點(diǎn)滿足直線的斜率為.
(。┳C明:直線與的斜率之積為定值;
(ⅱ)求面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)證明見解析;(ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)已知條件列方程,化簡后求得軌跡的方程.
(Ⅱ)
(。├命c(diǎn)差法,求得,由此證得結(jié)論成立.
(ⅱ)利用弦長公式求得,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離,由此求得三角形面積的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得三角形面積的最大值.
(Ⅰ)由已知得,兩邊平方并化簡得,
即點(diǎn)的軌跡的方程為:.
(Ⅱ)(。┰O(shè)點(diǎn),則點(diǎn),滿足, ①
設(shè)點(diǎn),滿足, ②
由①-②得:,
∵,,
∴.
(ⅱ)∵,關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴,
設(shè)直線,代入曲線化簡得:,
設(shè),,由得:,,,
,
點(diǎn)到直線的距離,
∴,
∴,當(dāng)時(shí),
∴取到最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,且直線與曲線C有兩個不同的交點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知M為曲線C上一點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線垂直,求點(diǎn)M的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在單調(diào)遞增,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的最小值為,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)是軸下方(不含軸)一點(diǎn),拋物線上存在不同的兩點(diǎn)、滿足,,其中為常數(shù),且、兩點(diǎn)均在上,弦的中點(diǎn)為.
(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為,時(shí),求弦所在的直線方程;
(2)在(1)的條件下,如果過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個交點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線也只有一個交點(diǎn),求證:若和的斜率都存在,則與的交點(diǎn)在直線上;
(3)若直線交拋物線于點(diǎn),求證:線段與的比為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的焦距是,長軸長是短軸長3倍,任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(如圖所示),且點(diǎn)在直線的左上方.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求的面積;
(3)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線C:上的一點(diǎn),過P作互相垂直的直線PA,PB.與拋物線C的另一交點(diǎn)分別是A,B.
(1)若直線AB的斜率為,求AB方程;
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),求△PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)平面圖如圖1所示,為邊界上的點(diǎn).已知邊界是一段拋物線,其余邊界均為線段,且,拋物線頂點(diǎn)到的距離.以所在直線為軸,所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求邊界所在拋物線的解析式;
(2)如圖2,該景區(qū)管理處欲在區(qū)域內(nèi)圍成一個矩形場地,使得點(diǎn)在邊界上,點(diǎn)在邊界上,試確定點(diǎn)的位置,使得矩形的周長最大,并求出最大周長.
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