Question

過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過作軸的垂線交 軸于點(diǎn)，又過作曲線C的，切點(diǎn)為，過作軸的垂線交軸于點(diǎn)，…，依次下去得到一系列點(diǎn)，…，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求和；

（3）求證：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．

若切點(diǎn)是，

則切線方程為．      …………………1分

當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，

即：，

依題意．所以．       …………………2分

當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，

即：，

依題意，所以．  ………………3分

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，

公比為的等比數(shù)列．所以．  …………4分

（2）記，

因?yàn)?sub>，

所以．    …………………5分

兩式相減，

得：

　　    

．   …………………7分

∴

．          …………………9分

（3）證法1：

 ．      

…………………14分

證法2：當(dāng)時(shí)，

．…………………10分

假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，

即，

則．

即時(shí)．

．                        …………………13分

綜上，　

對(duì)都成立．              …………………14分